Allocation dynamique avec levier financier

Stratégie d'allocation ⚖️
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Habituellement, on évite d’ajouter du levier et de concentrer le portefeuille simultanément.
On cherche plutôt à mettre du levier sur un portefeuille plus diversifié, qui aura une espérance de rendement ajustée du risque supérieure ou égale à celle d’un portefeuille contenant juste l’actif avec l’espérance de rendement la plus élevée.

Imaginons que tu es dans un contexte 100% actions large caps et uniquement USA. On va mettre de côté le fait que le 100% USA est probablement une approche moins raisonnable que de diversifier internationalement.

Tu as le choix entre deux actifs : S&P 500 et Nasdaq.
On va dire que le Nasdaq a un beta de 1,3 et une corrélation de 0,9 avec le S&P : son espérance de rendement attendue est approximativement 1,3 fois celle du S&P 500 et sa volatilité est 1,3/0,9 = 1,45 fois celle du S&P, par définition du beta.

En tenant compte de coûts de financement comme les futures, si tu veux une espérance de rendement égale à 1,5x le S&P 500, tu peux prendre :

  • 117% d’exposition Nasdaq avec deux ETF : 83% en Nasdaq x 1 et 17% (on néglige les différence de frais)
  • 160% d’exposition S&P : 40% S&P + 60% S&Px2

Comme on est convaincu que l’Utilité est une façon raisonnable de prendre des décisions de pépettes, on regarde le rendement ajusté du risque (CE = Certainty Equivalent = Rendement Ajusté du Risque = expression de l’Utilité) pour comparer :

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Avec ces hypothèses, un S&P avec un gros levier a un meilleur rendement ajusté du risque qu’un Nasdaq avec levier.

Accessoirement, avec ces hypothèses de marché, un portefeuille à levier sur du full actions a une Utilité négative sauf si l’on est très peu sensible au risque. Rappel : Gamma = 1, ça veut dire qu’on cherche à maximiser le rendement composé, donc même pour les très gonadées qui raisonnent seulement en gain financier à long terme, l’approche S&P+levier est plus intéressante.

Evidemment, si on a un gros capital humain par rapport à son portefeuille et pas de projets à financer à moyen terme, la discussion est plus subtile.

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Il faut que je fasse la leçon sur le calcul piur etre sur de bien comprendre.

La a froid, je suis surpris qu’un levier de de 60% sur le S&P présente un meilleur ratio qu’un levier de 17% sur le nasdaq.

Actuellement je suis a 72% s&p et 28% Nasdaq sur mon PEA car je veux essayer de faire mieux qu’un 100% S&P500.
L’idée etait de passer 80% s&p et 20% Nasdaqx2
Mais je vais essayer de comprendre ton calcul et je vais faire plusieurs simulations pour voir ce qu’il pourrait etre le mieux.

Et effectivement tu fais bien de noté que je n’ai pas de projet a court/moyen terme et que m’a partie action n’est pas si élevé.
Je ne sais pas si on peut parler de capital humain « important » mais il reste intéressant par rapport aux investissements actuels

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C’est le coût du risque <=> combien de rendement en plus pour une unité de risque donnée.

Le rendement du Nasdaq est plus important que celui du SP500, mais il est également beaucoup plus risqué (plus concentré et plus volatile).

Pour pousser l’image à l’extrême, c’est comme comparer l’effet de levier sur Tesla à celui sur un indice. Le potentiel de rendement du premier est évidemment supérieur, mais à quel prix…

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J’ai repris ton fichier à froid pour essayer de faire plusieurs simulation et je n’arrive pas à retomber sur tes chiffres.
Pour le calcul de mu, tu prends quoi comme probabilité d’avoir le rendement attendu ? J’ai réussi à trouver un nombre pour retomber sur tes chiffres mais je ne sais pas d’où il vient.

Quand au calcul de sigma je sèche sur la formule utilisée (j’essaye avec RACINE) ou alors il me manque des données

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J’avais fait ça sur un Excel jetable donc ce sera de mémoire en regardant le screenshot. :sweat_smile:

µ c’est l’espérance de rendement. Sur plein (plein !) de tirages, la moyenne des rendements réalisés tendra vers cette valeur, l’écart type de ces tirages par rapport à cette moyenne sera de sigma.

Sans levier : µ_nasdaq = beta x µ_S&P
Avec levier : µ_Nasdaq+leverage = µ_nasdaq x exposition - (exposition - 1) x coût_financement

J’ai choisi une cible pour l’espérance de rendement du portefeuille à 4,5% (arbitraire) et comme je suis feignant, j’ai dû utiliser la fonction « Données > Analyse scénarios > Valeur cible » pour déterminer l’exposition nécessaire, d’où l’arrondi foireux à 4,498%.

Sigma_nasdaq = beta x sigma_S&P / correlation(nasdaq,S&P)
Cela découle de la définition du beta, qui est la régression linéaire des rendements du Nasdaq sur le S&P. C’est pour ça que la volat’ du sigma n’est pas égale à celle du S&P * beta et donc que le rendement ajusté du risque (µ-0,5 x gamma x sigma^2) attendu du Nasdaq est handicapé par rapport au S&P.

En version courte : plus tu concentres tes paris, moins tu mises (= levier moindre, potentiellement inférieur à 100%). :grin:

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J’adore, parce que ça donne une petite idée de ce à quoi ressemblent les V1 des leçons écrites par @vincent.p avant qu’on les retravaille :ok_hand: :innocent:

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Je vais relire ça a tête reposé car je ne suis pas sur de bien comprendre le calcul.
Car d’après ce que tu dis plus haut si

1.3 × 27% / 0.9 = 39,29 et pas 29.20% comme sur le screen
Je n’ai pas calculé le sigma_S&P, j’ai juste repris le chiffre (car mon cerveau n’a pas encore trouvé comment le calculer).

Dur les maths.

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C’est parce que la volat’ que j’ai prise pour le S&P est de 17%, là tu mets 27%. :grin:
C’est ça le sigma_S&P, c’est une hypothèse du problème, pas un truc qu’on calcule.

N’oublie pas qu’il faut aussi multiplier par le levier (117%) pour avoir la volat’ du portefeuille => 17%x1,3/0,9x117% ~ 29%

La volat de 27,2% sur la ligne du bas, c’est celle du S&P avec 160% de levier.

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Ah ok en fait tu pars d’une hypothèse pour le S&P et tu calcules une valeur pour une autre indice avec le beta et la corrélation.
J’aurais pu prendre un autre nombre pour le sigma_S&P et je peux extrapoler avec d’autres indices tant que j’ai un beta et une corrélation qui sont coherents avec l’indice comparé.

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@vincent.p je pense avoir compris j’ai même retrouver le calcul de CE (utilité) même si je suis pas sur de bien interpreter le resultat.
Tu as une equivalence par rapport aux résultats ? (Style ratio de sharp ou echelle).

Le gamma 1 c’est le plus risqué mais ca correspond exactement a quoi en terme chiffre

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Le rendement ajusté du risque (ou certainty équivalent return, c’est pareil) est une expression un peu abstraite qui permet de comparer des portefeuilles en mettant un coût sur le risque.

On prend le rendement arithmétique (= rendement moyen sur une période) du portefeuille et on en retire 0,5 x gamma x sigma^2.

Si l’aversion au risque gamma = 1, ça revient à chercher à maximiser le rendement géométrique, c’est-à-dire composé. Si tu veux comprendre pourquoi µ_géométrique ~ µ_arithmétique - 0,5 x sigma^2, il faut aller dans des maths plus avancées.

Pour gamma > 1, on augmente la pénalité due au risque, proportionnellement à l’aversion au risque. En gros on accepte de ne pas maximiser le rendement composé en échange de moins de volatilité.

Imaginons que tu aies déterminé le portefeuille optimal le plus agressif avec lequel tu est serein, c’est-à-dire celui qui a la meilleure espérance de rendement pour un risque donné. Si je te propose un portefeuille sans aucun risque mais avec un rendement inférieur, tu vas te poser la question : je prends le deal ou pas ? Le rendement ajusté du risque, c’est le rendement minimal qu’il faudrait que je te propose pour prendre le deal.

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Merci pour les précisions, je me suis trompé sur la maturité des obligations, c’est vraiment top dans ce cas !

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Ah je me disais en suivant le parcours pedago, voilà que je comprends Vincent du premier coup. Quelque chose ne doit pas tourner rond…Merci Julie. Bon pas très sympa pour Vincent qui traite de sujets pas simples…

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