On a pris un peu de temps @Metagabbro, pour te répondre, mais grâce à ta question, on peut écrire de superbes équations sur le forum !
J’ai du mal à réfléchir sans poser les équations, ce langage peut faire peur, mais au fond, le sens est beaucoup plus clair, et parfois précis que le langage naturel. Bref, je m’égare.
Avant de rentrer dans le détail, je vais tenter un TLDR :
En finance, on cherche souvent à optimiser un portefeuille en maximisant le rendement tout en minimisant le risque. Mais selon qu’on utilise des rendements arithmétiques ou géométriques, les solutions peuvent sembler différentes. Je vais montrer qu’en réalité, sous certaines hypothèses, très réalistes, ces deux approches mènent à des résultats très proches.
Maintenant je repars de ton précédent poste et je vais essayer de rentrer dans le détail et justifier d’où vient cette affirmation.
Citation
Etape 1 : étant donné un R_a cible on a déterminé des pondération minimisant \sigma
On peut écrire le problème comme suit :
On modélise avec l’espérance arithmétique \mu=\mathbb{E}[r] et la matrice de covariance \Sigma=\mathrm{Var}(r). La frontière efficiente (forme contrainte) est alors dans ce cas:
\min_{w}\ w^\top \Sigma w
\quad\text{s.c.}\quad
\mathbf{1}^\top w=1,\quad w^\top\mu=m.
Formulation équivalente en utilité quadratique (paramétrique) :
\max_{w}\ U_\gamma(w)=w^\top\mu-\tfrac{\gamma}{2}\,w^\top\Sigma w
\quad\text{s.c.}\quad
\mathbf{1}^\top w=1.
En faisant varier m (ou \gamma), on parcourt la même famille de portefeuilles efficients. Pour répondre à tes questions suivantes, comparons cela au cas géométrique
Cas géométrique
Si R_p=w^\top r est le rendement simple d’une période, le taux de croissance composé de long terme (sous i.i.d. et rééquilibrage) est
g(w)=\mathbb{E}\big[\log(1+w^\top r)\big].
Maximiser \mathbb{E}[\log(1+w^\top r)] correspond à une utilité logarithmique, c’est-à-dire une utilité à aversion relative au risque constante (CRRA) de paramètre 1, on peut aussi l’approcher par un développement limité.
Pour rendements et volatilités petits à l’échelle de la période, on utilise \log(1+x)\approx x-\tfrac12 x^2. En posant X=w^\top r :
g(w)=\mathbb{E}[\log(1+X)]
\approx \mathbb{E}[X]-\tfrac12\,\mathbb{E}[X^2]
= w^\top\mu-\tfrac12\big(w^\top\Sigma w + (w^\top\mu)^2\big).
À l’horizon mensuel, (w^\top\mu)^2 est souvent négligeable, d’où l’approximation usuelle
g(w)\approx w^\top\mu-\tfrac12\,w^\top\Sigma w,
qui coïncide avec une utilité quadratique de type moyenne–variance que l’on a décrit dans le cas des rendements arithmétiques,
\max_{w}\ w^\top\mu-\tfrac{1}{2}\,w^\top\Sigma w
\quad\text{avec}\quad \mathbf{1}^\top w=1.
On retombe donc exactement sur le même portefeuille (à un DL près) que celui dans le cas où l’on considère un rendement arithmétique avec utilité quadratique de paramètre \gamma = 1.
Citation
Etape 2 : mais est ce qu’on ne peut pas rendre compte ex post que ce n’est pas optimal d’un point de vue rendement composé R_g et vouloir revoir les pondérations initiales en fonction ? C’est à dire qu’on trouverait un autre portefeuille cible (donc pas sur la frontière efficiente MPT) avec un R_g supérieur au précédent, mais un \sigma inférieur, le battant donc sur les deux dimensions dans une vision composée
Où a l’inverse est ce que ces deux objectifs ne sont jamais incompatibles et donc tout ça se résoud en un même et unique pb d’optimisation
Ta question suggère qu’on pourrait trouver un portefeuille avec un meilleur rendement composé ET une volatilité plus faible. En réalité, les deux formulations (arithmétique et géométrique) mènent à des solutions très proches, donc il n’y a pas d’arbitrage possible : le portefeuille optimal reste le même (à une approximation près).
